- Kombinationen 6 aus 49
- 13.983.816
- Jackpot 6aus49 und Eurojackpot
- 1 : 139.838.160
- irgendein Gewinn bei 6aus49
- 3,19 %
- irgendein Gewinn beim Eurojackpot
- 3,14 %
- Gewinnsumme am Einsatz (6aus49)
- 50 %
Wie kommt die Zahl 13.983.816 zustande?
Der Binomialkoeffizient „49 über 6“ zählt die Auswahlen ohne Reihenfolge:
C(49, 6) = (49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 13.983.816
Dazu kommt die Superzahl, eine Ziffer von 0 bis 9. Für sechs Richtige plus richtige Superzahl multipliziert sich alles mit 10:
13.983.816 × 10 = 139.838.160
Der Rechner oben übernimmt die Arithmetik.
Was ist die Superzahl, und wie geht sie in die Rechnung ein?
- Wertebereich der Superzahl
- 0 bis 9
- Chance auf die richtige Superzahl
- 1 : 10
- so selten ist der Jackpot gegenüber sechs Richtigen
- 10 ×
Bei LOTTO 6aus49 wird in jeder Ziehung neben den sechs Gewinnzahlen eine Superzahl zwischen 0 und 9 ermittelt. Ihre eigene Superzahl ist nach LOTTO.de die letzte Ziffer der Spielscheinnummer, Sie wählen sie also nicht selbst. Das erklärt, warum alle Tippfelder auf einem Schein dieselbe Superzahl haben.
Rechnerisch ist sie ein unabhängiger Faktor mit zehn gleich wahrscheinlichen Werten: Die Chance auf die richtige Superzahl beträgt 1 : 10. Deshalb teilt sich jede Trefferzahl in zwei Klassen: Mit richtiger Superzahl bleibt ein Zehntel der Kombinationen, ohne sie bleiben neun Zehntel. Der Jackpot ist so zehnmal so selten wie sechs Richtige.
Wie viele Richtige trifft ein Tipp typischerweise?
Genau k Richtige gibt es auf C(6, k) × C(43, 6 − k) Arten, noch ohne Superzahl.
| Richtige | Kombinationen | Wahrscheinlichkeit | Chance 1 : x |
|---|---|---|---|
| 0 | 6.096.454 | 43,597 % | 2,3 |
| 1 | 5.775.588 | 41,302 % | 2,4 |
| 2 | 1.851.150 | 13,238 % | 7,6 |
| 3 | 246.820 | 1,765 % | 56,7 |
| 4 | 13.545 | 0,0969 % | 1.032 |
| 5 | 258 | 0,00184 % | 54.201 |
| 6 | 1 | 0,000007 % | 13.983.816 |
| Summe | 13.983.816 | 100 % |
Die Summe ist die Rechenprobe. Der Erwartungswert liegt bei 6 × 6/49 ≈ 0,73 Richtigen: Null oder eine Zahl treffen zusammen 84,9 % der Tipps. „Fünf Richtige“ wirkt wie ein Beinahe-Treffer, ist aber keiner. Im Zufallsspiel gibt es kein „knapp daneben“.
Drei Richtige gelingen bei jedem 57. Tipp (1,765 %), vier bei etwa jedem tausendsten (1 : 1.032) und fünf bei einem von rund 54.000 Tipps (1 : 54.201). Wohlgemerkt: Das gilt ohne Rücksicht auf die Superzahl. Mit ihr zerfällt jede dieser Zeilen in zwei Gewinnklassen, und die Chance sinkt auf ein Zehntel (richtige Superzahl) oder neun Zehntel (falsche).
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für genau drei Richtige?
Dieselbe Formel gilt für jede Zahl von Richtigen: Man zählt die günstigen Tipps und teilt durch alle 13.983.816. Für drei Richtige ohne Rücksicht auf die Superzahl:
- 01Drei Gewinnzahlen auswählen
Aus den 6 gezogenen Zahlen lassen sich C(6, 3) = 20 Dreiergruppen bilden.
- 02Drei Nieten auswählen
Die übrigen drei Zahlen kommen aus den 43 nicht gezogenen: C(43, 3) = 12.341.
- 03Multiplizieren
20 × 12.341 = 246.820 günstige Tipps.
- 04Teilen
246.820 / 13.983.816 = 1,765 %, also 1 : 56,7.
Das Ergebnis stimmt mit der Tabelle oben überein. Die Summe über alle sieben Zeilen von 0 bis 6 Richtigen ergibt wieder 13.983.816, ein einfacher Test, ob sich irgendwo ein Rechenfehler eingeschlichen hat.
Wie wahrscheinlich ist ein Gewinn in einem ganzen Jahr?
Wer jede Ziehung mit einem Tipp teilnimmt, spielt rund 104 Mal im Jahr und zahlt dafür 104 × 1,20 € = 124,80 € ohne Bearbeitungsgebühr. Im Schnitt kommen davon 62,40 € zurück. Fast jedes Jahr bringt dabei irgendeinen Gewinn, meist aber nur einen kleinen:
| Ergebnis | Chance je Ziehung | Chance in 104 Ziehungen (ein Tipp je Ziehung) |
|---|---|---|
| irgendein Gewinn (Klassen 1 bis 9) | 3,19 % | 96,6 % |
| mindestens 3 Richtige mit Superzahl (Klassen 1 bis 7) | 0,275 % | 24,9 % |
| mindestens 4 Richtige mit Superzahl (Klassen 1 bis 5) | 0,0115 % | 1,19 % |
| Jackpot (Klasse 1) | 0,0000007 % | 0,00007 % |
Die Rechnung nimmt einen unabhängigen Tipp je Ziehung an (1 − (1 − p)^104). 91 % aller Gewinne fallen in die Klassen 8 und 9, in Klasse 9 sind es nach LOTTO.de eine feste Quote von 6,00 €.
Welche Chance hat jede der neun Gewinnklassen bei 6aus49?
Mit der Superzahl multipliziert sich die Kombinationszahl mit 1 (richtig) oder 9 (falsch). Beispiel Klasse 4, fünf Richtige ohne Superzahl:
C(6, 5) × C(43, 1) × 9 = 6 × 43 × 9 = 2.322, also 139.838.160 / 2.322 = 60.223
| Klasse | Richtige | Kombinationen (von 139.838.160) | Chance 1 : x (LOTTO.de) | Wahrscheinlichkeit |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 6 + Superzahl | 1 | 139.838.160 | 0,0000007 % |
| 2 | 6 | 9 | 15.537.573 | 0,0000064 % |
| 3 | 5 + Superzahl | 258 | 542.008 | 0,000184 % |
| 4 | 5 | 2.322 | 60.223 | 0,00166 % |
| 5 | 4 + Superzahl | 13.545 | 10.324 | 0,0097 % |
| 6 | 4 | 121.905 | 1.147 | 0,0872 % |
| 7 | 3 + Superzahl | 246.820 | 567 | 0,1765 % |
| 8 | 3 | 2.221.380 | 63 | 1,589 % |
| 9 | 2 + Superzahl | 1.851.150 | 76 | 1,324 % |
Die Spalte „Chance 1 : x“ nennt LOTTO.de so (gerundet), die eigene Rechnung führt auf dieselben Werte. Bei Klasse 2 rechnet LOTTO.de selbst 1/13.983.816 × 9/10 = 1/15.537.573,33.
Alle neun Klassen zusammen ergeben 4.457.390 von 139.838.160 Kombinationen, das sind 3,19 % oder rund 1 : 31,4 (eigene Summe). Davon entfallen 4.072.530 (91 %) auf die Klassen 8 und 9. Klasse 9 hat nach LOTTO.de eine feste Quote von 6,00 €, bei den übrigen hängt sie von der Zahl der Gewinner ab.
Erhöhen Systemscheine und mehrere Tippfelder die Gewinnchance?
Ja, aber nur im selben Maß, wie sie mehr kosten. Ein Lottoschein hat nach LOTTO.de je nach Bundesland 12 bis 18 Tippfelder, ein normaler Schein mit 12 Feldern kostet 14,40 € zuzüglich Bearbeitungsgebühr. Für den Jackpot beträgt die Chance mit 12 Feldern 12 / 139.838.160, also 1 : 11.653.180 statt 1 : 139.838.160.
- Tippfelder je Schein, je nach Bundesland
- 12 bis 18
- Schein mit 12 Feldern, zzgl. Gebühr
- 14,40 €
- Jackpot-Chance mit 12 Feldern
- 1 : 11.653.180
Ein Vollsystem tippt sieben bis zwölf Zahlen und wertet alle denkbaren Sechserkombinationen daraus aus (LOTTO.de). Die Zahl der Reihen ist C(k, 6):
| Vollsystem | Zahlen | Reihen | Kosten bei 1,20 € je Reihe | Chance, dass alle 6 Gewinnzahlen darunter liegen |
|---|---|---|---|---|
| 007 | 7 | 7 | 8,40 € | 1 : 1.997.688 |
| 008 | 8 | 28 | 33,60 € | 1 : 499.422 |
| 009 | 9 | 84 | 100,80 € | 1 : 166.474 |
| 010 | 10 | 210 | 252,00 € | 1 : 66.590 |
| 011 | 11 | 462 | 554,40 € | 1 : 30.268 |
| 012 | 12 | 924 | 1.108,80 € | 1 : 15.134 |
Kosten und Chance wachsen im Gleichschritt, der Erwartungswert je Euro bleibt unverändert. Nach LOTTO.de sind die Vollsysteme 007 bis 010 in allen Bundesländern online spielbar, 011 und 012 nur in einigen. Bei Teilsystemen sind Chance und Einsatz geringer als beim vergleichbaren Vollsystem.
Ist 1, 2, 3, 4, 5, 6 unwahrscheinlicher als andere Tipps?
Nein. Jede der 13.983.816 Sechserkombinationen hat dieselbe Chance, auch 1, 2, 3, 4, 5, 6. LOTTO.de rät aus einem anderen Grund von Zahlenfolgen wie 2, 4, 6, 8, 10, 12 oder 1, 2, 3, 4, 5, 6 ab: Sie sind beliebt und können im Gewinnfall zu geringen Quoten führen. Gleiches nennt LOTTO.de für Geburtsdaten (Zahlen bis 31), geometrische Muster auf dem Schein und die Gewinnzahlen der Vorwoche.
Wer die Quote nicht mit vielen anderen teilen will, nimmt den Quick-Tipp. Er verteilt die Zahlen nach LOTTO.de gleichmäßiger über alle 49 Zahlen. Auf die Chance auf den Gewinn selbst hat das keinen Einfluss.
Was gibt ein Tipp im Schnitt zurück?
- Spieleinsatz je Tipp, zzgl. Bearbeitungsgebühr
- 1,20 €
- im Schnitt zurück (50 %)
- 0,60 €
- Hausvorteil Lotto
- 50 %
- Hausvorteil Roulette europäisch
- 2,70 %
Die Gewinnsumme beträgt nach LOTTO.de 50 % des Spieleinsatzes. Die Gegenüberstellung mit anderen Spielen steht auf Erwartungswert und Hausvorteil.
Wie funktioniert der Eurojackpot rechnerisch?
Tippfeld: 5 Zahlen aus 50 und 2 Eurozahlen aus 12 (nach LOTTO.de 2 € je Tippfeld zuzüglich Gebühr).
C(50, 5) × C(12, 2) = 2.118.760 × 66 = 139.838.160
Das ist dasselbe Ergebnis wie 13.983.816 × 10: Beide Jackpots haben die Chance 1 : 139.838.160.
| Klasse | Richtige | Kombinationen (von 139.838.160) | Chance 1 : x (LOTTO.de) | Ausschüttungsanteil |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 + 2 | 1 | 139.838.160 | 36,00 % |
| 2 | 5 + 1 | 20 | 6.991.908 | 8,60 % |
| 3 | 5 + 0 | 45 | 3.107.515 | 4,85 % |
| 4 | 4 + 2 | 225 | 621.503 | 0,80 % |
| 5 | 4 + 1 | 4.500 | 31.075 | 1,00 % |
| 6 | 3 + 2 | 9.900 | 14.125 | 1,10 % |
| 7 | 4 + 0 | 10.125 | 13.811 | 0,80 % |
| 8 | 2 + 2 | 141.900 | 985 | 2,55 % |
| 9 | 3 + 1 | 198.000 | 706 | 2,85 % |
| 10 | 3 + 0 | 445.500 | 314 | 5,40 % |
| 11 | 1 + 2 | 744.975 | 188 | 6,75 % |
| 12 | 2 + 1 | 2.838.000 | 49 | 20,30 % |
Beim Eurojackpot gibt es nach LOTTO.de Ziehungen dienstags und freitags, auf einem Schein stehen je nach Bundesland 8 bis 15 Tippfelder. Fünf Richtige ohne Eurozahl (Klasse 3) treffen bei einem von 3.107.515 Tipps, fünf Richtige mit einer Eurozahl (Klasse 2) bei einem von 6.991.908.
Allgemein gilt für a Richtige unter 5 und b unter 2 Eurozahlen: C(5, a) × C(45, 5 − a) × C(2, b) × C(10, 2 − b). Klasse 12: 10 × 14.190 × 2 × 10 = 2.838.000, also 139.838.160 / 2.838.000 = 49,27. Alle zwölf Klassen ergeben 4.393.191 Kombinationen: 3,14 % oder rund 1 : 31,8. Der Jackpot liegt nach den Spielregeln von LOTTO.de zwischen mindestens 10 und höchstens 120 Millionen €.
Erhöht eine Spielgemeinschaft die Gewinnchance?
Die Gruppe als Ganzes hat mehr Chancen, der einzelne Mitspieler behält aber nur seinen Anteil. Tippen zehn Personen je einen Tipp, steigt die Gruppenchance auf den Jackpot auf 10 / 139.838.160, doch ein Gewinn wird durch zehn geteilt. Der Erwartungswert je eingesetztem Euro verändert sich dadurch nicht, nur die Streuung sinkt. LOTTO.de weist darauf hin, dass eine direkte Teilnahme an Spielgemeinschaften auf LOTTO.de nicht möglich ist, weil dort keine Kundendaten gespeichert werden.
Wie groß ist 1 : 139.838.160 wirklich?
- Ziehungen pro Jahr (Mi und Sa)
- 104
- Jahre Wartezeit bei einem Tipp je Ziehung
- 1.344.598
- Kosten aller 13.983.816 Sechser (1,20 € je Tipp, ohne Gebühr)
- 16.780.579,20 €
139.838.160 / 104 ≈ 1.344.598 Jahre
Wie klein die Chance ist, zeigt ein Vergleich mit dem Münzwurf. Sechs Richtige (1 : 13.983.816) sind so unwahrscheinlich wie rund 24 Mal Kopf in Folge (2^23,7), der Jackpot mit Superzahl so unwahrscheinlich wie 27 Mal Kopf hintereinander (2^27,1).
Wie lange müsste man spielen, bis die Chance bei 50 % liegt?
Bei einem Tipp je Ziehung braucht es für eine 50-prozentige Chance auf den Jackpot rund 0,693 × 139.838.160 ≈ 96,9 Millionen Ziehungen. Bei 104 Ziehungen pro Jahr wären das etwa 932.000 Jahre. Für sechs Richtige ohne Superzahl sind es rund 9,7 Millionen Ziehungen oder 93.200 Jahre.
- Ziehungen bis 50 % Jackpot-Chance
- 96,9 Mio.
- Jahre bei 104 Ziehungen pro Jahr
- 932.000
- Jahre für sechs Richtige ohne Superzahl
- 93.200
Alle Sechserkombinationen abzudecken, wäre keine Strategie: Die Superzahl wäre damit nicht einmal erfasst. Jede Kombination hat dieselbe Chance, auch 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sie ist nur beliebter und führt laut LOTTO.de zu geringeren Quoten. Mathematisch lässt sich nur die Wahrscheinlichkeit senken, einen Gewinn teilen zu müssen.
Ob die Ziehungsstatistik etwas hergibt, prüft Meist gezogene Lottozahlen. Warum „überfällige“ Zahlen ein Denkfehler sind, erklärt der Spielerfehlschluss.
