Erwartungswert und Hausvorteil erklärt: Was Roulette, Blackjack, Baccarat, Slots und Lotto im Schnitt kosten

Roulette europäisch (1/37)

2,70 %

Blackjack mit Basisstrategie, Atlantic-City-Regeln

0,43 %

Baccarat, Wette auf Bank

1,06 %

Slot mit 96 % RTP

4,00 %

LOTTO 6aus49

50 %

Was ist der Erwartungswert und wie lautet die Formel?

Der Erwartungswert ist nach der Definition der Stochastik das mit der Wahrscheinlichkeit gewichtete arithmetische Mittel aller möglichen Werte einer Zufallsgröße. Bei unbegrenzter Wiederholung ergibt sich daraus der Durchschnitt der Ergebnisse, wobei der Erwartungswert selbst keiner der möglichen Werte sein muss. Geschrieben wird er als E, nach dem französischen „espérance“ („Hoffnung“), oder als griechisches μ (Wikipedia: Erwartungswert).

Das klassische Beispiel ist der Würfel: E = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3,5. Diese Augenzahl wirft niemand, und doch pendelt sich der Durchschnitt bei vielen Würfen genau dort ein. Beim Glücksspiel rechnen Sie statt mit Augenzahlen mit dem Saldo, also Gewinn minus Einsatz.

1. 01
   Ausgänge auflisten

   Alle möglichen Ergebnisse einer Wette nennen und je Ergebnis den Saldo bestimmen (Gewinn minus Einsatz).

2. 02
   Wahrscheinlichkeiten bestimmen

   Jedem Ausgang seine Wahrscheinlichkeit zuordnen. Die Summe muss genau 1 ergeben.

3. 03
   Multiplizieren

   Saldo mal Wahrscheinlichkeit, für jeden Ausgang einzeln.

4. 04
   Addieren

   Die Produkte zusammenzählen. Das Ergebnis ist der Erwartungswert in Euro je Einsatz.

5. 05
   In Prozent umrechnen

   Den Erwartungswert durch den Einsatz teilen und das Vorzeichen weglassen: Das ist der Hausvorteil.

Ein Rechenbeispiel zum Üben: Sie setzen 1 € darauf, dass ein Würfel eine Sechs zeigt, und bekommen bei Erfolg 4 € Gewinn zusätzlich zum Einsatz. Dann gilt E = 4 × 1/6 + (−1) × 5/6 = −1/6 ≈ −0,167 €. Bei jedem Euro bleiben dem Veranstalter im Schnitt 16,7 Cent.

Wie berechnet man den Erwartungswert beim Roulette?

Sie setzen 1 € auf die Zahl 17: Trifft die Kugel, gibt es 35 € plus Einsatz zurück, sonst ist der Euro weg.

E = p1·x1 + p2·x2 + … (x = Saldo, also Gewinn minus Einsatz)

35 × (1/37) + (−1) × (36/37) = −1/37 = −0,0270 €

Das gilt beim europäischen Roulette (37 Fächer) für jede Wette:

Alle drei ergeben −2,70 %. Amerikanisches Roulette mit Doppelnull (38 Fächer): 1/38 · 35 + 37/38 · (−1) = −2/38 = −5,26 %.

Welches Spiel kostet wie viel?

Die Tabelle rechnet auf 1.000 € Umsatz um. Bei Blackjack und Baccarat hängen die Werte am Regelwerk des Tisches.

Die Baccarat-Werte haben wir selbst durchgerechnet (alle Kartenfolgen eines 8-Deck-Schuhs inklusive Drittkartenregeln) und mit Wizard of Odds bestätigt: 1,0579 %, 1,2351 %, 14,3596 %. Roulette und Craps folgen aus der Kombinatorik (Pass-Line: 2 × 244/495 − 1 = −7/495).

Was ist der Hausvorteil, und wie hängt er mit dem RTP zusammen?

Der Hausvorteil ist der erwartete Verlust des Spielers in Prozent des Einsatzes, also der Erwartungswert ohne Vorzeichen. „Das Haus“ meint den Veranstalter, in der Spielbank ebenso wie bei einem Online-Anbieter. Die Gegenzahl ist die Auszahlungsquote (RTP, „Return to Player“): RTP = 100 % − Hausvorteil. Roulette zahlt also im Schnitt 97,30 % zurück, ein Automat mit 4 % Hausvorteil 96 %.

Entscheidend ist, worauf sich der Prozentsatz bezieht. Er gilt für den Umsatz, nicht für das Guthaben: Wer 100 Mal 5 € auf Rot setzt, hat 500 € umgesetzt und verliert im Schnitt 500 € × 2,70 % = 13,50 €, auch wenn der Kontostand zwischendurch hoch und runter springt. Je häufiger gespielt wird, desto größer der Umsatz und desto sicherer der erwartete Verlust. Bei Lotto dreht die Rechnung ins Extreme, weil nur die Hälfte des Einsatzes ausgeschüttet wird.

Was ändert sich je nach Regel und Spiel?

Details: Blackjack-Wahrscheinlichkeiten, So funktionieren Spielautomaten und Lotto Wahrscheinlichkeit.

Wie berechnet man den Erwartungswert bei Spielautomaten und Lotto?

Bei Automaten und Lotterien kennen Sie nicht jede einzelne Wahrscheinlichkeit, wohl aber das Ergebnis der Rechnung: den RTP beziehungsweise die Gewinnsumme. Der Erwartungswert je Euro Einsatz ist dann RTP − 1, bei 96 % RTP also −0,04 €. Wie ein Gewinnplan Zeile für Zeile zu diesem Wert führt, rechnet So funktionieren Spielautomaten vor.

Bei LOTTO 6aus49 beträgt die Gewinnsumme nach LOTTO.de 50 % des Spieleinsatzes. Ein Tipp für 1,20 € bringt im Schnitt 0,60 € zurück, der Erwartungswert liegt bei −0,60 € je Tipp. Das ist der Grund, warum Lotto in der Tabelle oben mit weitem Abstand den höchsten Wert hat, obwohl die Gewinnchance so verlockend klingt.

Wann ist ein Spiel fair?

Ein Spiel heißt fair, wenn sein Erwartungswert null beträgt. Bei der Würfel-Wette von eben wäre das der Fall, sobald die Sechs 5 € Gewinn bringt: 5 × 1/6 − 5/6 = 0. Beim europäischen Roulette wäre eine Auszahlung von 36:1 auf eine Pleinzahl fair. Gezahlt werden 35:1, und dieser eine fehlende Einsatz geteilt durch 37 Fächer ist genau der Hausvorteil von 2,70 %.

Ein Veranstalter, der faire Spiele anböte, verdiente an ihnen nichts. Deshalb liegt jede Quote im Casino und in der Spielothek knapp unter der fairen Quote. Der Abstand ist die Marge, und der Spieler sieht sie nur, wenn er den Erwartungswert ausrechnet.

Pro Einsatz oder pro Stunde?

Der Hausvorteil bezieht sich auf den Einsatz. Pro Stunde zählt das Tempo: Ein Spiel mit niedrigem Vorteil und hohem Tempo kann teurer sein als eines mit höherem Vorteil und langsamem Takt. Bei virtuellen Automatenspielen sind durchschnittlich mindestens 5 Sekunden je Spiel und höchstens 1 € Einsatz vorgeschrieben (§ 22a Abs. 6 und 7):

720 Spiele × 1 € = 720 € Umsatz pro Stunde, bei 96 % RTP bis zu 28,80 € erwarteter Verlust

Was sagen Varianz und Standardabweichung zusätzlich zum Erwartungswert?

Der Erwartungswert nennt den Durchschnitt, die Standardabweichung die typische Schwankung darum. Sie ergibt sich aus der Varianz Var = E(X²) − E(X)². Zwei Wetten können denselben Erwartungswert und doch ein völlig anderes Gefühl haben:

Die Streuung wächst mit der Wurzel der Einsatzzahl (√100 = 10), der erwartete Verlust linear. Bei der Pleinzahl liegt die Streuung nach 100 Einsätzen bei rund dem 22-Fachen des erwarteten Verlusts: Ein Ergebnis weit im Plus ist dann völlig normal, ohne dass sich am negativen Erwartungswert etwas ändert.

Wie berechnet man den Erwartungswert bei der Binomialverteilung?

Wiederholen Sie dieselbe Wette n Mal, und jede Wette hat die Trefferchance p, dann ist die Trefferzahl binomialverteilt. Ihr Erwartungswert ist einfach n × p, die Varianz n × p × (1 − p) (Wikipedia: Binomialverteilung). Setzen Sie 100 Mal auf dieselbe Pleinzahl, ist 100 × 1/37 = 2,70 Treffer zu erwarten, bei einer Standardabweichung von 1,62.

erwartete Treffer bei 100 Einsätzen auf eine Zahl

2,70

Standardabweichung der Trefferzahl

1,62

Serien ganz ohne Treffer

6,5 %

Daraus folgt eine Zahl, die viele überrascht: In 6,5 % aller solchen Serien fällt Ihre Zahl kein einziges Mal ((36/37)^100). Mit dem Saldo je Treffer und Fehlversuch verrechnet, ergibt sich wieder der Erwartungswert in Euro: (100/37) × 35 € − (3.600/37) × 1 € = −100/37 € ≈ −2,70 €.

Warum gewinnt man trotz negativem Erwartungswert?

Der Erwartungswert gilt für den Durchschnitt über sehr viele Einsätze. Ein Einsatz auf Rot hat 48,65 % Gewinnchance (18/37), Streuung etwa 1 €, erwarteter Verlust 2,7 Cent.

erwarteter Saldo nach n Einsätzen = −0,027 · n €, Streuung = √n €

Nach 100 Einsätzen liegt gut jeder Dritte noch im Plus, nach 10.000 so gut wie niemand. Wer kurz spielt und gewinnt, hat Glück gehabt, aber nichts über das Spiel erfahren. Systeme wie die Martingale ändern den Erwartungswert nicht: Er ist additiv, die Summe negativer Einzelwerte bleibt negativ. Die Staffelung verändert nur die Streuung, bei der Martingale zum Preis eines seltenen, aber hohen Verlusts. Mehr unter Roulette-Strategie.

Was sagt das Sankt-Petersburg-Paradoxon über den Erwartungswert?

Es beschreibt ein Glücksspiel, dessen Gewinn einen unendlichen Erwartungswert hat. Nach der reinen Erwartungswertregel müsste man dafür jeden Einsatz zahlen. Weil die Wahrscheinlichkeit, den Einsatz zu verlieren, aber bei 50 % liegt, erscheint diese Empfehlung nicht vernünftig (Wikipedia: Erwartungswert). Gelöst wird das Paradoxon mit einer logarithmischen Nutzenfunktion.

Für den Alltag heißt das: Der Erwartungswert ist ein nützliches, aber nicht das einzige Maß. Wer Verluste nur als Durchschnitt betrachtet, übersieht, dass ein Totalverlust des Einsatzes mehr zählt als der Rechenwert. Deshalb gehören Limits zum Spielen, nicht die Hoffnung, dass sich der Durchschnitt schon einstellen werde.

Wo gibt es Tischspiele in Deutschland?

Virtuelle Automatenspiele, die Tischspielen mit Bankhalter wie Roulette, Black Jack oder Baccara entsprechen, sind nach § 22a Abs. 2 GlüStV 2021 unzulässig. Klassische Tischspiele finden sich in den Spielbanken der Länder:

Weitere Zahlen: Glücksspiel in Zahlen. Den rechtlichen Rahmen erklärt Spielbanken in Deutschland.